Arco Capaz

Antes de acordar a que le llamamos Arco Capaz, es bueno recordar o revisar algunos conceptos...

Def: Dados dos puntos fijos P y Q, se llama arco capaz a todos los puntos del plano que forman con esos puntos fijos un ángulo constante.

Por ejemplo, si tenemos un arco de fútbol, indicar todos los puntos de la cancha desde los cuales el delantero tiene un ángulo de 30º para patear.

     en esquemas es:       

en donde los jugadores son A, B , C y el arco tiene extremos fijos P y Q.

En realidad, hablando estrictamente, el arco capaz tiene dos partes, una hacia cada lado del semiplano limitado por el segmento PQ.  En el caso del arco de fútbol solo tiene sentido hablar de la mitad del arco capaz.  Hacia el otro lado, detras del arco, estamos "fuera de juego".  El arco capaz completo queda con una forma parecida a un "8".

Hasta ahora sólo hemos "dicho" lo que es un arco capaz.  Pero para que esto tenga sentido debemos demostrar  que el ángulo es constante.

Va una ayuda: ¿cómo podremos demostrar que los dos ángulos marcados de color rojo como   son iguales? 

Lugar geometríco

Concepto de lugar geométrico

Se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.

En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una curva cónica,...), mientras que en otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos.

Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, una circunferencia, una recta paralela a otra,...

También las curvas cónicas se pueden considerar como lugares geométricos. Así una elipse es el lugar geométrico de la suma de las distancias de un punto a dos dados (los focos) que es constante.

LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO

Definición:

Supongamos un punto móvil P, que se desplaza en un plano a una distancia constante de un punto fijo O del mismo plano. Sabemos que ese punto recorrerá una circunferencia de centro O y de radio la distancia constante r. El conjunto de puntos de la circunferencia y solamente ellos, constituye el lugar geométrico del punto P.

Un Lugar Geométrico es entonces, una figura cuyos puntos gozan de una cierta propiedad que no poseen los puntos que no pertenecen a la figura.

Lugares Geométricos Fundamentales.

1. El lugar geométrico de los puntos del plano que distan una longitud dada r de un punto fijo O es la circunferencia de centro O y radio r.
   

2. El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos A y B fijos, es la mediatriz del segmento AB.
   

3. El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo convexo (xOy) es la bisectriz de dicho ángulo.
   

4. El lugar geométrico de los puntos del plano que distan una longitud dada d de una recta fija res el conjunto de dos paralelas a r trazadas a la distancia d de esta recta.
   

5. El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos recta secantes, es el conjunto formado por dos rectas perpendiculares entre si, que contienen a las bisectrices de los cuatro ángulos que las rectas determinan.

6. El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas paralelas es la paralela media.

7. El lugar geométrico de los puntos del plano que miran un segmento AB bajo un ángulo dado de amplitud , está formado por dos arcos de circunferencia de cuerda AB y se llaman arcos capaces sobre AB de ángulo  .
   

Observación: En caso que  = 90°, los arcos resultan ser dos semicircunferencias de diámetro AB, es decir una circunferencia de diámetro AB. (Lugar geométrico de Thales).