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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS            

Arco Capaz

Antes de acordar a que le llamamos Arco Capaz, es bueno recordar o revisar algunos conceptos...

Def: Dados dos puntos fijos P y Q, se llama arco capaz a todos los puntos del plano que forman con esos puntos fijos un ángulo constante.

Por ejemplo, si tenemos un arco de fútbol, indicar todos los puntos de la cancha desde los cuales el delantero tiene un ángulo de 30º para patear.

     en esquemas es:       

en donde los jugadores son A, B , C y el arco tiene extremos fijos P y Q.

En realidad, hablando estrictamente, el arco capaz tiene dos partes, una hacia cada lado del semiplano limitado por el segmento PQ.  En el caso del arco de fútbol solo tiene sentido hablar de la mitad del arco capaz.  Hacia el otro lado, detras del arco, estamos "fuera de juego".  El arco capaz completo queda con una forma parecida a un "8".

Hasta ahora sólo hemos "dicho" lo que es un arco capaz.  Pero para que esto tenga sentido debemos demostrar  que el ángulo es constante.

Va una ayuda: ¿cómo podremos demostrar que los dos ángulos marcados de color rojo como   son iguales? 

BIOGRAFÍAS

TALES

Leonhard Euler

 Nació en Basilea, Suiza, en 1707 y fue hijo de un pastor calvinista que quería que le sucediera. Además, su madre procedía de una familia de pastores, así que parecía predestinado al ministerio sacerdotal. Por suerte o por desgracia no fue así y se convirtió en el matemático más prolífico de toda la historia. Escribió sobre todas las ramas de las matemáticas y tuvo la gran idea de describir todos sus razonamientos e incluso aquellos caminos infructuosos que había intentado. Publicó más de 800 trabajos, alguno de ellos muy extenso. Sus obras completas Opera Omnia ocupan 86 volúmenes.

En 1766 perdió la visión de su ojo derecho debido a sus observaciones al Sol tratando de descubrir un buen sistema de medición del tiempo, pero no se detuvo por ello. Tampoco lo hizo al quedar completamente ciego a los 60 años. No sólo mantuvo, sino que incrementó el ritmo de publicaciones escribiendo un promedio de un artículo matemático por semana; de hecho, 300 de los anteriores trabajos los hizo dictándolos a sus hijos y algún colaborador.

Implantó los símbolos “e” para la base de los logaritmos naturales, “i” para los números imaginarios y “f()” para las funciones.

Se dice que tenía una memoria excepcional. Era capaz de recordar pizarrones enteros y se cuenta que podía recitar en latín la Eneida completa. Tenía una capacidad de cálculo mental tremenda. Sin lápiz ni papel era capaz de decir los 100 primeros números primos, sus cuadrados, cubos y hasta sus sextas potencias.

Murió en una época en que resolvía ciertos problemas matemáticos relacionados con el vuelo del aeróstato (era la época de los hermanos Montgolfier). La tarde de su muerte estaba haciendo unos cálculos sobre la órbita de Urano. Es una lástima, porque sus ecuaciones, décadas después, llevaron a los astrónomos a buscar y descubrir Neptuno. Seguro que Euler hubiera disfrutado buscando un nuevo planeta.

Dejó tras su muerte tantos trabajos que tuvo ocupadas las imprentas durante muchísimos años. Sus obras de divulgación científica incluyen textos clásicos de álgebra, cálculo diferencial e integral y cálculo variacional y se publicaron después de su muerte durante más de 90 años. La academia de San Petersburgo estuvo publicando trabajos atrasados durante 48 años. Por calidad y cantidad de obra es uno de los 4 matemáticos más brillantes de la historia (los otros 3 son Arquímedes, Newton y Gauss; aunque seguro que esto es opinable).

¿Os parece poco?. Pues tuvo tiempo de dedicarse a la mecánica, astronomía, óptica, acústica, arquitectura, balística, navegación, cartografía, construcción de instrumentos de precisión, música y filosofía. Incluso obtuvo la licenciatura en filosofía. Mientras estuvo en la Academia de San Petersburgo ejerció como asesor científico del gobierno y en esta función preparaba mapas, asesoraba a la armada rusa incluso probó diseños de bombas contra incendios.

Todavía hay más. Tuvo 13 hijos, aunque sólo 5 llegaron a edad adulta y sólo 3 le sobrevivieron. Era una persona de carácter amable y sencillo y aunque abandonó Rusia sus colegas no le guardaron el menor rencor. Desde Alemania continuó colaborando en la revista de San Petersburgo y esa cordialidad se mantuvo durante la guerra de los Siete Años en la que las tropas rusas invadieron Berlín.

Las palabras de otros científicos sólo son de admiración. Incluso Johann Bernoulli, que había sido su maestro y que era un personaje muy arrogante. El tiempo puso a cada cual en su sitio y Johann, que no era nada propenso a las alabanzas, le escribió una carta diciendo: “Yo represento el análisis superior como si estuviera en su infancia, pero tú lo estás llevando a su estado adulto”. Laplace dijo una vez: “Leed a Euler, leed a Euler. El es el maestro de todos nosotros”. Otro famoso matemático del siglo XX, André Weil dijo: “Durante toda su vida … parece haber llevado en la cabeza la totalidad de las matemáticas de la época, tanto puras como aplicadas”. En su elogio fúnebre, el marqués de Condorcet dijo que “todos los matemáticos son sus discípulos”.

En suma, que es de aquellos personajes que es difícil no encontrárselo en una rama de la física o de las matemáticas. Es increíble que una sola persona pueda concentrar una sabiduría y una genialidad tan extensa. Un hombre de esta categoría y es mayoritariamente desconocido (incluido para muchos matemáticos). Espero que a partir de hoy tengas a Leonhard Euler en tu lista de héroes.

Fuentes:
“De los números y su historia”, Isaac Asimov
“Leonhard Euler. El maestro de todos los matemáticos”, William Dunham